C5 Найдите все значения a , при каждом из которых наименьшее значение функции на множестве не меньше 6.

Решение

0 :: Интересует поведение квадратичной функции

Поскольку первый коэффициент у функции положителен, то ветви её параболы направлены вверх, а своего наименьшего значения f (x) достигает в точке минимума, свопадающей с абсциссой вершины

Линия вершин проходит, например, через точки (0;2) и (1;6) (при a = 0 и a = 2, соответственно).

Составим её уравнение:

Особенность задачи состоит в том, что поведение функции y = f (x) следует рассматривать на множестве , т.е. на отрезках [-3 ; -1] и [1;3] .

И если точка попала в указанные промежутки, то наименьшее значение достигается в ней.

Если же нет, - то на одном из концов указанных отезков.1 :: При
наименьшее значение функция достигает в точке x = −3:

Следует решить систему неравенств:

2 :: При
наименьшее значение функция достигает в вершине параболы :

Следует решить систему неравенств:

3 :: При
наименьшее значение функция достигает в вершине параболы , но для указанных отрезков верно иное утверждение:

Из геометрии задачи следует, что лишь при a = 0 и a = 2 наименьшее значение будет равным 6, в то время как для всех остальных a из отрезка [-2 ; 2] найдутся значения функции, меньшие 6.

4 :: При
наименьшее значение функция достигает в точке x = 1:

Следует решить систему неравенств:

5 :: При
наименьшее значение функция достигает в точке x = 3:

Следует решить систему неравенств:

(квадратный трёхчлен положителен).

6 :: Осталось объединить полученные решения.

Ответ

Анализ

Критерии

Содержание критерия | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 4
Получен верный ответ, но он недостаточно обоснован, или в обосновании содержатся мелкие неточности, например отсутстуют рисунки для различных значений параметра | 3
Ход решения в целом верен, но ответ содержит посторонние числа, или найдено только одно из верных значений | 2
Решение содержит верную геометрическую интерпретацию задачи или верный переход к равносильной системе, дальнейшие содержательные продвижения отсутствуют | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 4