C4 Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны 6 и 8 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 5, средняя линия трапеции равна 25. Прямые AB и CD пересекаются в точке M. Найдите радиус окружности, вписанной в трегольник BMC.

Решение

Решим задачу в общем виде, что далеко не обязательно для абитуриентов.

СЛУЧАЙ 1

Дана трапеция ABCD (BC ∥ AD).
Отрезок LP, соединяющий середины диагоналей трапеции, принадлежит её средней линии KN.

Пусть

Кроме того, введём обозначения:

(как средние линии треугольников с общим основанием BC).

1 ::

=

2 :: Из свойства средней линии вытекает:

=

3 :: Из подобия треугольников BMC и AMD имеем:

=

=

4 :: Полупериметр треугольника BMC:

=

Площадь этого треугольника по формуле Герона:

=

Наконец, радиус вписанной в треугольник BMC окружности:

=

СЛУЧАЙ 2

5 :: При таком расположении вершин трапеции геометрия задачи не меняется.
Однако теперь интересует радиус R окружности, вписанной в большой треугольник BMC.

Из подобия треугольников AMD и BMC следует:

Проверка

Ответ

4 или 6

Критерии

Содержание критерия | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 3
Рассмотрена хотя бы одна геометрическая конфигурация, для которой получено правильное значение искомой величины | 2
Рассмотрена хотя бы одна геометрическая конфигурация, для которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 3