C4 Боковые стороны KL и MN трапеции KLMN равны 10 и 26 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 12, средняя линия трапеции равна 24. Прямые KL и MN пересекаются в точке A. Найдите радиус окружности, вписанной в трегольник ALM.

Решение

Решим задачу в общем виде, что далеко не обязательно для абитуриентов.

Случай 1

Дана трапеция KLMN (LM ∥ KN).
Отрезок DE, соединяющий середины диагоналей трапеции, принадлежит её средней линии BC.

Пусть

Кроме того, введём обозначения:

(как средние линии треугольников с общим основанием LM).

1.

=

2. Из свойства средней линии вытекает:

=

3. Из подобия треугольников ALM и AKN имеем:

=

=

4. Полупериметр треугольника AML:

=

Площадь этого треугольника по формуле Герона:

=

Наконец, радиус вписанной в треугольник AML окружности:

=

Случай 2

При таком расположении вершин трапеции геометрия задачи не меняется.
Однако теперь интересует радиус R окружности, вписанной в большой треугольник ALM.

Из подобия треугольников ALM и AKN следует:

Замечание.

При указанных в условии числовых данных оказалось, что трапеция прямоугольная. На этом можно построить более компактное решение.

Проверка

Ответ

2 или 6

Критерии

Содержание критерия | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 3
Рассмотрена хотя бы одна геометрическая конфигурация, для которой получено правильное значение искомой величины | 2
Рассмотрена хотя бы одна геометрическая конфигурация, для которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 3