ЕГЭ 20 12

ДОСРОЧНЫЙ 26.04.2012 V 1 ЧАСТЬ 2 C4 Боковые стороны KL и MN трапеции KLMN равны 10 и 26 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 12, средняя линия трапеции равна 24. Прямые KL и MN пересекаются в точке A. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ALM. Решение Решим задачу в общем виде, что далеко не обязательно для абитуриентов. Случай 1 Дана трапеция KLMN (LM ∥ KN). Отрезок DE, соединяющий середины диагоналей трапеции, принадлежит её средней линии BC. Пусть Кроме того, введём обозначения: (как средние линии треугольников с общим основанием LM). 1. = 2. Из свойства средней линии вытекает: = 3. Из подобия треугольников ALM и AKN имеем: = = 4. Полупериметр треугольника AML: = Площадь этого треугольника по формуле Герона: = Наконец, радиус вписанной в треугольник AML окружности: = Случай 2 При таком расположении вершин трапеции геометрия задачи не меняется. Однако теперь интересует радиус R окружности, вписанной в большой треугольник ALM. Из подобия треугольников ALM и AKN следует: Замечание. При указанных в условии числовых данных оказалось, что трапеция прямоугольная. На этом можно построить более компактное решение. Проверка Ответ 2 или 6 Критерии
Содержание критерия | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 3
Рассмотрена хотя бы одна геометрическая конфигурация, для которой получено правильное значение искомой величины | 2
Рассмотрена хотя бы одна геометрическая конфигурация, для которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 3

12

11

10

09

08

07

06

05

04

03

02

01