C4 Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны 6 и 8 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 5, средняя линия трапеции равна 25. Прямые AB и CD пересекаются в точке M. Найдите радиус окружности, вписанной в трегольник BMC.
Решение
Решим задачу в общем виде, что далеко не обязательно для абитуриентов.
СЛУЧАЙ 1
Дана трапеция ABCD (BC ∥ AD).
Отрезок LP, соединяющий середины диагоналей трапеции, принадлежит её средней линии KN.
Пусть 
Кроме того, введём обозначения:
(как средние линии треугольников с общим основанием BC).
1 :: 
= 
2 :: Из свойства средней линии вытекает:
= 
3 :: Из подобия треугольников BMC и AMD имеем:
= 
= 
4 :: Полупериметр треугольника BMC:
= 
Площадь этого треугольника по формуле Герона:
= 
Наконец, радиус вписанной в треугольник BMC окружности:
= 
СЛУЧАЙ 2
5 :: При таком расположении вершин трапеции геометрия задачи не меняется.
Однако теперь интересует радиус R окружности, вписанной в большой треугольник BMC.
Из подобия треугольников AMD и BMC следует:
Проверка
![[[u = `+`(`/`(`*`(`/`(1, 2), `*`(c, `*`(`+`(m, `-`(n))))), `*`(n)))]]](im/m_102.gif){kind=small}
![[[v = `+`(`/`(`*`(`/`(1, 2), `*`(d, `*`(`+`(m, `-`(n))))), `*`(n)))]]](im/m_105.gif){kind=small}
Ответ
4 или 6
Критерии
Содержание критерия |
Баллы |
Обоснованно получен верный ответ |
3 |
Рассмотрена хотя бы одна геометрическая конфигурация, для которой получено правильное значение искомой величины |
2 |
Рассмотрена хотя бы одна геометрическая конфигурация, для которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки |
1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше |
0 |
Максимальный балл |
3 |