ДОСРОЧНЫЙ 26.04.2012

ЧАСТЬ 2  ВАРИАНТ :: 2

C4 Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны 6 и 8 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 5, средняя линия трапеции равна 25. Прямые AB и CD пересекаются в точке M. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник BMC. 

Решение 

 

Решим задачу в общем виде, что далеко не обязательно для абитуриентов. 

СЛУЧАЙ 1 

Дана трапеция ABCD (BC ║ AD).
Отрезок LP, соединяющий середины диагоналей трапеции, принадлежит её средней линии KN. 

Пусть  

 

Кроме того, введём обозначения: 

 

 (как средние линии треугольников с общим основанием BC). 

1 ::   

=  

2 :: Из свойства средней линии вытекает: 

 

=  

3 :: Из подобия треугольников BMC  и AMD  имеем: 

 

=  

=  

4 :: Полупериметр треугольника BMC: 

 

=  

Площадь этого треугольника по формуле Герона: 

 

 

 

=  

Наконец, радиус вписанной в треугольник BMC окружности: 

 

=  

 

СЛУЧАЙ 2 

 

5 :: При таком расположении вершин трапеции геометрия задачи не меняется.
Однако теперь интересует радиус R окружности, вписанной в большой треугольник BMC. 

Из подобия треугольников AMD и BMC следует: 

 

Проверка 

 

 

 

 

Ответ 

4 или 6 

Критерии 

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	3
Рассмотрена хотя бы одна геометрическая конфигурация, для которой получено правильное значение искомой величины	2
Рассмотрена хотя бы одна геометрическая конфигурация, для которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3