ДОСРОЧНЫЙ 26.04.2012

ЧАСТЬ 2  ВАРИАНТ :: 3

C5 Найдите все значения a , при каждом из которых наименьшее значение функции на множестве не меньше 6. 

Решение 

 

0 :: Интересует поведение квадратичной функции 

Поскольку первый коэффициент у функции положителен, то ветви её параболы направлены вверх, а своего наименьшего значения  f (x) достигает в точке минимума, совпадающей с  абсциссой вершины 

 

Линия вершин проходит, например, через точки (0;2) и (1;6)  (при a = 0 и a = 2, соответственно).  

Составим её уравнение: 

 

Особенность задачи состоит в том, что поведение функции y = f (x) следует рассматривать на множестве ,

т.е. на отрезках [-3 ; -1] и [1;3] . 

И если точка попала в указанные промежутки, то наименьшее значение достигается в ней. 

Если же нет, - то на одном из концов указанных отезков.

1 :: При
наименьшее значение функция достигает в точке x = −3: 

 

Следует решить систему неравенств: 

 

 

 

 

 

2 :: При
наименьшее значение функция достигает в вершине параболы : 

 

Следует решить систему неравенств: 

 

3 :: При
наименьшее значение функция достигает в вершине параболы , но для указанных отрезков верно иное утверждение: 

 

 

 

Из геометрии задачи следует, что лишь при a = 0  и a = 2 наименьшее значение будет равным 6, в то время как для всех остальных a из отрезка [-2 ; 2] найдутся значения функции, меньшие 6. 

 

 

4 :: При
наименьшее значение функция достигает в точке x = 1: 

 

 

 

Следует решить систему неравенств: 

 

 

5 :: При
наименьшее значение функция достигает в точке x = 3: 

 

Следует решить систему неравенств: 

 

(квадратный трёхчлен положителен). 

 

6 :: Осталось объединить полученные решения. 

Ответ 

 

Анализ 

 

Критерии 

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
Получен верный ответ, но он недостаточно обоснован, или в обосновании содержатся мелкие неточности, например отсутствуют рисунки для различных значений параметра	3
Ход решения в целом верен, но ответ содержит посторонние числа, или найдено только одно из верных значений	2
Решение содержит верную геометрическую интерпретацию задачи или верный переход к равносильной системе, дальнейшие содержательные продвижения отсутствуют	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4