An expression sequence is the underlying data structure for lists, sets, and function call arguments in Maple. Conceptually, a list is just a sequence enclosed in "[" and "]", a set is a sequence (with no duplicate elements) enclosed in "{" and "}", and a function call is a sequence enclosed in "(" and ")". A sequence can also be used as a data structure itself:

> Q := x, 42, "string", 42;
                           Q := x, 42, "string", 42

> L := [ Q ];
                          L := [x, 42, "string", 42]

> S := { Q };
                            S := {42, "string", x}

> F := f( Q );
                          F := f(x, 42, "string", 42)

A sequence, like most data structures in Maple, is immutable. Once created, it cannot be changed. This means the same sequence can be shared by multiple data structures. In the example above, the list assigned to and the function call assigned to both share the same instance of the sequence assigned to . The set assigned to refers to a different sequence, one with the duplicate 42 removed, and sorted into a canonical order.

Appending an element to a sequence creates a new sequence. The original remains unaltered, and still referenced by the list and function call:

> Q := Q, a+b;
                        Q := x, 42, "string", 42, a + b

> L;
                             [x, 42, "string", 42]

> S;
                               {42, "string", x}

> F;
                            f(x, 42, "string", 42)

Because appending to a sequence creates a new sequence, building a long sequence by appending one element at a time is very inefficient in both time and space. Building a sequence of length this way creates sequences of lengths 1, 2, ..., -1, . The extra space used will eventually be reclaimed by Maple's garbage collector, but this takes time.

This leads to the subject of this article, which is how to create long sequences efficiently. For the remainder of this article, the sequence we will use is the Fibonacci numbers, which are defined as follows:

• Fib(0) = 0
• Fib(1) = 1
• Fib() = Fib(-1) + Fib(-2) for all > 1

In a computer algebra system like Maple, the simplest way to generate individual members of this sequence is with a recursive function. This is also very efficient if option is used (and very inefficient if it is not; computing Fib() requires 2 Fib() - 1 calls, and Fib() grows exponentially):

> Fib := proc(N)
>     option remember;
>     if N = 0 then
>         0
>     elif N = 1 then
>         1
>     else
>         Fib(N-1) + Fib(N-2)
>     end if
> end proc:
> Fib(1);
                                       1

> Fib(2);
                                       1

> Fib(5);
                                       5

> Fib(10);
                                      55

> Fib(20);
                                     6765

> Fib(50);
                                  12586269025

> Fib(100);
                             354224848179261915075

> Fib(200);
                  280571172992510140037611932413038677189525

Let's start with the most straightforward, and most inefficient way to generate a sequence of the first 100 Fibonacci numbers, starting with an empty sequence and using a for-loop to append one member at a time. Part of the output has been elided below in the interests of saving space:

> Q := ();
                                     Q :=

> for i from 0 to 99 do
>     Q := Q, Fib(i)
> end do:
> Q;
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584,

    4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811,

    ...

    51680708854858323072, 83621143489848422977, 135301852344706746049,

    218922995834555169026

As mentioned previously, this actually produces 100 sequences of lengths 1 to 100, of which 99 will (eventually) be recovered by the garbage collector. This method is O(²) (Big O Notation) in time and space, meaning that producing a sequence of 200 values this way will take 4 times the time and memory as a sequence of 100 values.

The traditional Maple wisdom is to use the seq function instead, which produces only the requested sequence, and no intermediate ones:

> Q := seq(Fib(i),i=0..99);
Q := 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597,

    2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418,

    ...

    51680708854858323072, 83621143489848422977, 135301852344706746049,

    218922995834555169026

This is O() in time and space; generating a sequence of 200 elements takes twice the time and memory required for a sequence of 100 elements.

As of Maple 2019, it is also possible to achieve O() performance by constructing a sequence directly using a for-expression, without the cost of constructing the intermediate sequences that a for-statement would incur:

> Q := (for i from 0 to 99 do Fib(i) end do);
Q := 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597,

    2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418,

    ...

    51680708854858323072, 83621143489848422977, 135301852344706746049,

    218922995834555169026

This method is especially useful when you wish to add a condition to the elements selected for the sequence, since the full capabilities of Maple loops can be used (see The Two Kinds of Loops in Maple). The following two examples produce a sequence containing only the odd members of the first 100 Fibonacci numbers, and the first 100 odd Fibonacci numbers respectively:

> Q := (for i from 0 to 99 do
>           f := Fib(i);
>           if f :: odd then
>               f
>           else
>               NULL
>           end if
>       end do);
Q := 1, 1, 3, 5, 13, 21, 55, 89, 233, 377, 987, 1597, 4181, 6765, 17711, 28657,

    75025, 121393, 317811, 514229, 1346269, 2178309, 5702887, 9227465,

    ...

    19740274219868223167, 31940434634990099905, 83621143489848422977,

    135301852344706746049

> count := 0:
> Q := (for i from 0 while count < 100 do
>           f := Fib(i);
>           if f :: odd then
>               count += 1;
>               f
>           else
>               NULL
>           end if
>       end do);
Q := 1, 1, 3, 5, 13, 21, 55, 89, 233, 377, 987, 1597, 4181, 6765, 17711, 28657,

    75025, 121393, 317811, 514229, 1346269, 2178309, 5702887, 9227465,

    ...

    898923707008479989274290850145, 1454489111232772683678306641953,

    3807901929474025356630904134051, 6161314747715278029583501626149

> i;
                                      150

A for-loop used as an expression generates a sequence, producing one member for each iteration of the loop. The value of that member is the last expression computed during the iteration. If the last expression in an iteration is NULL, no value is produced for that iteration.

Examining after the second loop completes, we can see that 149 Fibonacci numbers were generated to find the first 100 odd ones. (The loop control variable is incremented before the while condition is checked, hence is one more than the number of completed iterations.)

Until now, we've been using calls to the Fib function to generate the individual Fibonacci numbers. These numbers can of course also be generated by a simple loop which, together with assignment of its initial conditions, can be written as a single sequence:

> Q := ((f0 := 0),
>       (f1 := 1),
>       (for i from 2 to 99 do
>            f0, f1 := f1, f0 + f1;
>            f1
>        end do));
Q := 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597,

    2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418,

    ...

    51680708854858323072, 83621143489848422977, 135301852344706746049,

    218922995834555169026

A Maple Array is a mutable data structure. Changing an element of an Array modifies the Array in-place; no new copy is generated:

> A := Array([a,b,c]);
                                A := [a, b, c]

> A[2] := d;
                                   A[2] := d

> A;
                                   [a, d, c]

It is also possible to append elements to an array, either by using programmer indexing, or the recently introduced ,= operator:

> A(numelems(A)+1) := e; # () instead of [] denotes "programmer indexing"
                               A := [a, d, c, e]

> A;
                                 [a, d, c, e]

Like appending to a sequence, this sometimes causes the existing data to be discarded and new data to be allocated, but this is done in chunks proportional to the current size of the Array, resulting in time and memory usage that is still O(). This can be used to advantage to generate sequences efficiently:

> A := Array(0..1,[0,1]);
                              [ 0..1 1-D Array       ]
                         A := [ Data Type: anything  ]
                              [ Storage: rectangular ]
                              [ Order: Fortran_order ]

> for i from 2 to 99 do
>     A ,= A[i-1] + A[i-2]
> end do:
> A;
                           [ 0..99 1-D Array      ]
                           [ Data Type: anything  ]
                           [ Storage: rectangular ]
                           [ Order: Fortran_order ]

> Q := seq(A);
Q := 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597,

    2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418,

    ...

    51680708854858323072, 83621143489848422977, 135301852344706746049,

    218922995834555169026

Although unrelated specifically to the goal of producing sequences, the same techniques can be used to construct Maple strings efficiently:

> A := Array("0");
                                   A := [48]

> for i from 1 to 99 do
>    A ,= " ", String(Fib(i))
> end do:
> A;
                           [ 1..1150 1-D Array     ]
                           [ Data Type: integer[1] ]
                           [ Storage: rectangular  ]
                           [ Order: Fortran_order  ]

> A[1..10];
                   [48, 32, 49, 32, 49, 32, 50, 32, 51, 32]

> S := String(A);
S := "0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 \
    10946 17711 28657 46368 75025 121393 196418 317811 514229 832040 134626\
    9 2178309 3524578 5702887 9227465 14930352 24157817 39088169 63245986 1\
    02334155 165580141 267914296 433494437 701408733 1134903170 1836311903 \
    2971215073 4807526976 7778742049 12586269025 20365011074 32951280099 53\
    316291173 86267571272 139583862445 225851433717 365435296162 5912867298\
    79 956722026041 1548008755920 2504730781961 4052739537881 6557470319842\
     10610209857723 17167680177565 27777890035288 44945570212853 7272346024\
    8141 117669030460994 190392490709135 308061521170129 498454011879264 80\
    6515533049393 1304969544928657 2111485077978050 3416454622906707 552793\
    9700884757 8944394323791464 14472334024676221 23416728348467685 3788906\
    2373143906 61305790721611591 99194853094755497 160500643816367088 25969\
    5496911122585 420196140727489673 679891637638612258 1100087778366101931\
     1779979416004714189 2880067194370816120 4660046610375530309 7540113804\
    746346429 12200160415121876738 19740274219868223167 3194043463499009990\
    5 51680708854858323072 83621143489848422977 135301852344706746049 21892\
    2995834555169026"

A call to the Array constructor with a string as an argument produces an array of bytes (Maple data type integer[1]). The ,= operator can then be used to append additional characters or strings, with O() efficiency. Finally, the Array can be converted back into a Maple string.

Constructing sequences in Maple is a common operation when writing Maple programs. Maple gives you many ways to do this, and it's worthwhile taking the time to choose a method that is efficient, and suitable to the task at hand.

When discussing Maple programming, we often refer to for-loops, while-loops, until-loops, and do-loops (the latter being an infinite loop). But under the hood, Maple has only two kinds of loop, albeit very flexible and powerful ones that can combine the capabilities of any or all of the above, making it possible to write very concise code in a natural way.

Before looking at some actual examples, here is the formal definition of the loops' syntax, expressed in Wirth Syntax Notation, where "|" denotes alternatives, "[...]" denotes an optional part, "(...)" denotes grouping, and Maple keywords are in boldface:

[ for  ] [ from  ] [ by  ] [ to  ]
    [ while  ]
do
    
( end do | until  )

[ for  [ , variable ] ] in 
    [ while  ]
do
    
( end do | until  )

In the first form, every part of the loop syntax is optional, except the do keyword before the body of the loop, and either end do or an until clause after the body. (For those who prefer it, end do can also be written as od.) In the second form, only the in clause is required.

The simplest loop is just:

do
    
end do

This will repeat the forever, unless a break or return statement is executed, or an error occurs.

One or two loop termination conditions can be added:

• A while clause can be written before the do, specifying a condition that is tested before each iteration begins. If the condition evaluates to false, the loop ends.
• An until clause can be written instead of the end do, specifying a condition that is tested after each iteration finishes. If the condition evaluates to true, the loop ends.

A so-called for-loop is just a loop to which iteration clauses have been added. These can take one of two forms:

• Any combination of for (with a single variable), from, by, and to clauses. The last three can appear in any order.
• A for clause with one or two variables, followed by an in clause.

The following for-loop executes 10 times:

for  from 1 to 10 do
    
end do

However, if the doesn't depend on the value of , both the for and from clauses can be omitted:

to 10 do
    
end do

In this case, Maple supplies an implicit for clause (with an inaccessible internal variable), as well as an implicit "from 1" clause. In fact, all of the clauses are optional, and the infinite loop shown earlier is understood by Maple in exactly the same way as:

for  from 1 by 1 to infinity while true do
    
until false

When looping over the contents of a container, such as a one-dimensional array A, there are several possible approaches. The one closest to how it would be done in most other programming languages is (this example and those that follow can be copied and pasted into a Maple session):

 := Array([,"foo",42]);
for  from lowerbound() to upperbound() do
    print([],[])
end do;

If only the entries in the container are of interest, it is not necessary to loop over the indices. Instead, one can write:

 := Array([,"foo",42]);
for  in  do
    print()
end do;

If both the indices and values are needed, one can write:

 := Array([,"foo",42]);
for ,  in  do
    print([],)
end do;

For a numerically indexed container such as an Array, this is equivalent to the for-from-to example. However, this method also works with arbitrarily indexed containers such as a Matrix or table:

 := LinearAlgebra:-RandomMatrix(2,3);
for ,  in  do
    print([],)
end do;

 := table({1="one","hello"="world",=42});
for ,  in eval() do
    print([],)
end do;

(The second example requires the call to eval due to last-name evaluation of tables in Maple, a topic for another post.)

As with a simple do-loop, a while and/or until clause can be added. For example, the following finds the first negative entry, if any, in a Matrix (traversing the Matrix in storage order):

 := LinearAlgebra:-RandomMatrix(2,3);
for ,  in  do
    # nothing to do here
until  < 0;
if  < 0 then
    print([],)
end if;

Notice that the test, < 0, is written twice, since it is possible that the Matrix has no negative entry. Another way to write the same loop but only perform the test once is as follows:

 := LinearAlgebra:-RandomMatrix(2,3);
for ,  in  do
    if  < 0 then
	print([],);
	break
    end if;
end do;

Here, we perform the test within the loop, perform the desired processing on the found value (just printing in this case), and use a break statement to terminate the loop.

Sometimes, it is useful to abort the current iteration of the loop and move on to the next one. The next statement does exactly that. The following loop prints all the indices but only the positive values in a Matrix:

 := LinearAlgebra:-RandomMatrix(2,3);
for ,  in  do
    print(=[]);
    if  < 0 then
	next
    end if;
    print(=);
end do;

(Note that a simple example like this would be better written by enclosing the printing of the value in an if-statement instead of using next. The latter is generally only used if the former is not possible.)

Maple's loop statements are very flexible and powerful, making it possible to write loops with complex combinations of termination conditions in a concise yet readable way. The ability to use while and/or until in conjunction with for means that break statements are often unnecessary, further improving clarity.

This is the final installment in a series of three articles outlining new features of Maple's command line (TTY) interface. Today we'll cover improvements to ImageTools:-Preview for use from a terminal.

Character based terminals are not well suited for displaying graphics, although the earliest Maple plotting support was specifically for such devices because better options were not widely available. But for text-based work such as writing code and documentation, many developers still prefer to work in a terminal, where everything is just a keystroke or two away. A problem arises when working on projects involving graphics. Obviously, it's easy to open an appropriate image viewer for such tasks, but for quick previews where details aren't important, a terminal-based solution can be convenient.

As a sample image for the first few examples, we'll use this well known public domain test image, commonly referred to as the baboon, although it is actually a mandrill:

The ImageTools:-Preview function has always been able to render output in a terminal. The output is akin to what one might have seen hanging on a data center wall in the 1970s:

> interface(screenheight=40,screenwidth=72,plotdevice=char):
> with(ImageTools):
> img := Read("../../Pictures/baboon.png");
                     [ 1..512 x 1..512 x 1..3 3-D Array ]
              img := [ Data Type: float[8]              ]
                     [ Storage: rectangular             ]
                     [ Order: C_order                   ]

> Preview(img);
oO*O*o++==**+o+=+-+=*o**=++=+*++++o*++~=o===*****==+===+++--~~=~~~+*
@o*++++~=+~++++++=++**oO*oOOooOOOOOOoo*++ooo*+++====+*++====~~~-==+*
Ooo++===+==+***o*oo***oooOo*++==**==~~=*oO****ooooooooo***++=~~~~~+*
@o*+=+~===*+oOo@@@@@@@@@@@@@@oooOOO*oO@@OOO@@@@@@@@@@@@@o*+===~-=++*
O**==~+=~=+*O@O@@@@@@OO@@O@@@@@@@OOO@@o*o@+=**=+@ooOOOoo+=+==~~~~=++
o++++=-~~~=++*oOO**O@*=**+o@Oo@@@@@@@o*O@@o===+*@+~+o*+++~===~~=~++*
+*++==~~==~=+=++*+=o@@@@@@@@ooo@@@@OO*Ooo@@@@OO*+=*oo*+==~~~~--=~++o
o*+=+~=~~=~~++++*****oo*+**=+O@OOO*o+*oo+++*+=~+*oo**+*+~=~~-~~~~=+=
O*=*=~=~~===~==+****OOOooooOOOO+O*=+*+Oo=~-~~=OOo**+*++=~~~-~-~-~+=+
O+++~~+~=~~+==+o**oo@@*~-----O*=@o++=o@=   -~~=*ooo*o+====~~~~-~~+=+
*o**++===+~=+=*+OOOOo=-~~   -o*=o*=++=o     -~==+oo**o++~~~----~~~++
o*oo*===+==+=*oo*oO=-=-  -  -*=+o+=++=+    -----=**+++*+~~==~-~-=+~*
*o**+*=++=~==~=+**O~- ~     -+=+*+=++==       ~~-~++=+~=~~~~-~~~+==+
ooo*o***+++~+==+oo==-  -    -+=++=+++==      -- -~+=+~~~~~~~=~~===+*
oo*o*==*+=====oooo-~-  -    -==*+==++==         --~*++=~=--~-=====**
*oooo*+*+===++=*@*--~-      ~=+*+==++==         ~--+*==+=~~~-=~+++**
oOOoOo**+*+=+=+O@=- ~-      ~=+*+~~=++~        -- -*o*+====~=+=+*++*
++*ooooOo+**+*OoO~~ -~      ~=+*+-~+++~-      -~  ~ooo+=~=~=+=******
*o+OO@@ooOooO@O@@~=- --     ==++=~~+++~       ~  -+Oo*==++=*+**+***+
*++*ooOOOO@OOO@@@=-=- -     =+++=-~+++~      ~   -*o***++=++*o*oo*oo
~===++**oOOO@@@@@@-~-  -    ~***=- =++-     -   -~oOo**o*oooo***oooo
~~~=~~==+O@@@@@@@@=-=  -  - -++*=-~=++     --   ~+@OO*******o**o*OOO
=~-~-=+oO@@@@@@@@@*~--  -    =+*+==+*~  -  -   -~O@@o*ooo*ooooooooOO
----~==+o@@@@@@@@@o+-~  -  - ~**+=++*- -  -- ---=@@@OO**oooooo*ooooo
-~~~~=+**o@@@@@@@@@+~~~-=- --=**+==++- ~  + -~~~*OOOOoo*ooooo***oOOO
---~====*@@@@@@@@@@O+~+=~= -~+*++=+++-~- =+~~~++*oOOOOoooooooo**oooo
---~--~=O@@O@@O**oOO++*+~+--++++==+++=~ -+~~=*=***oOoOoooOOOoooooo*o
-    --+**oo+===*Oooo**+~=++++++==++++=~~~~+++o*+**oOo****oOOoooo*o*
      ~++oO+-~~~+@Oo***+====+++===+++=====+=+++******++**++*oOooo***
-     ~+***=~~--=ooo**+++oo*~~~~~~~~~+*+===+++=***+++*+++****oo***++
      -=***=~---~+oOo*+++==*o=+=~==+*+===+++**+***+**+=====+oo**+++=
   - --~**===~~-~~=*O*++===++*+===+==+++++++******o**=~~~===+**++++=
 -   --~+====- --~~=+*+++++++++==++==++++++++*****~=+=~~---=+**++===
-    --~======~~-~~ -===+++++**=++++++++++++=+++~=~~+=-----~=***+===
   -----~~+=*=~-~-~+- --~=++++++++++++++++=+-~- +=++~--~~-~==++*+===
-----~-~======~~-~~~~--   ~~~~~~==~===~=~~- --=~=o=~~~~~~~=++++++=++
~~--~--~~~==+++==~-- ~=-~--~~=~~~---~-~~-~-~~=+*=+=~~~-===++***+++=+
-~~~~~~~~~==++=++=--    -~~=++++===+=~==+==~**=+=~==~~=+*++****+++++
~~=~~~~~~~==++***+=--     --~=====++=~===+~~+~--~~~=++++****o*+****o
=====~~~~===+***oo*+-        - --------  --     -~=++*o*ooooo*+*oooO

If you squint really hard, you can almost discern the image. As of Maple 2018.1, ImageTools:-Preview now uses color output if interface(ansi) is set to true and interface(plotdevice) is set to colorchar:

> interface(plotdevice=colorchar):
> Preview(img);
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In addition to providing quick previews of image files, this feature can also be used to get more information about plots. For example, consider the following 3D plot generated using Maple's color character plot driver:

> plot3d([1,x,y],x=0..2*Pi,y=0..2*Pi,coords=toroidal(10));

                                                                        
                              ------------                              
                        ----------||-|----------                        
                     --------\-\\-||-|-//-/--------                     
                   ---------\\\\\|||-||/-///---------                   
                 --/-//-----\\\\||||-|||/////---\\\-\--                 
                -/-//-//-/-\\\\\||||||||//-/--\\\\-\\---                
               --|-||-||-|--\\\\||||||||////--|/||-||-|--               
              /--|-\-\-\\---\\\||||||||||///-////-/-/-|--\              
             //-----\------\\\\\||||||||////-------/-----\              
             //////--/--------\||||||||||/--------\--\\\\\\             
            /////// //// /-/--/-/-|-|||\-\--\-\ \\\\ \-\\\\\            
            |/////-////-/-//-/-/-|--|-|-\-\-\\-\-\\\\-\ \\\|            
            |//|////-/-// / /--|-|--|-|-|--\ \\-\-\ \\\\|\\|            
            ||| |-/-/  |-/--|-|--|  | | -|-|--\-|| \-\-| |||            
            |||-||| /-|--| |  | -|--|-|- |  | |--|-\ ||-||||            
            |||| |-|  | |--|--|--|  | |--|--|--| |  |-| ||||            
             |||-| |-||-|  |  |  ---|-|  |  |  |-||-| |-|||             
              ||-|-| | -|--|--|  |  | || |--|--|- | |-|-||/             
              \||| |-|- |  |  ---|--|--|--| |  | -|-| |-|/              
               \-|-| | -|--|-|| |   |  |  | |--|--| |-|//               
                \|||||- |  |-|--|---|--|--|-|  | -|-|||/                
                 \|\|-|-|--|--| |   |  |  |-|--|-|-|-|/                 
                   \\\|-|- |  |--|--|--|-|  | -|-|-//                   
                     --\-\-|--|--|--|-|--|--|-/-/--                     
                        ----\-|--|--|-|--|-/----                        
                              -\-|--|-|-/-                              
                                                                        

The output shows the general shape of the plot, but unless you already know what it looks like, it can be hard to visualize, especially since the character drivers don't support shading. One can glean additional insight by generating a high resolution bitmap version of the plot, and then Preview-ing that:

> interface(plotdevice="bmp",plotoutput="plot.bmp");
                          colorchar, terminal

> plot3d([1,x,y],x=0..2*Pi,y=0..2*Pi,coords=toroidal(10));
# Revert to colorchar or Preview won't generate a textual preview.
> interface(plotdevice="colorchar",plotoutput=terminal);
                             bmp, plot.bmp

> img := Read("plot.bmp");
                     [ 1..360 x 1..480 x 1..3 3-D Array ]
              img := [ Data Type: float[8]              ]
                     [ Storage: rectangular             ]
                     [ Order: C_order                   ]

> Preview(img);
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